Criterio de Kelly y fórmula de Merton: cuánta palanca usar

Si la palanca multiplica lo que esperas ganar, ¿por qué no usar mucha? Porque el desgaste crece con el cuadrado.

Con el doble de palanca esperas el doble de prima. Pero la volatilidad también se duplica, y el desgaste, que depende de su cuadrado, se multiplica por cuatro. A partir de cierto punto, más palanca hace crecer menos tu dinero.

crecimiento ≈ palanca × prima − palanca² × volatilidad² ÷ 2

Es el mismo desgaste que separa la media de la rentabilidad compuesta, ahora con palanca. Hay una palanca que hace crecer más que ninguna, y pasarse es peor que quedarse corto.

En 1956, John Kelly calculó cuánto apostar para que el dinero crezca lo más posible a largo plazo.

Kelly trabajaba en los laboratorios Bell. Su fórmula dice qué parte de tu dinero apostar cuando tienes ventaja. Con una moneda que sale cara un 60 % de las veces y paga lo apostado, la respuesta es un 20 %. Apostar un 30 % crece lo mismo que apostar un 10 %, con muchos más sustos.

Con una moneda a tu favor, apostar el doble de lo justo te arruina poco a poco. Es la lección de la palanca: quedarse corto cuesta poco; pasarse, mucho.

Lo que crece tu dinero por tirada, según lo que apuestes

Una moneda que sale cara un 60 % de las veces y paga lo apostado. Crecimiento medio de tu dinero por tirada, a largo plazo.

Criterio de Kelly (1956): crecimiento = 0,6 × ln(1 + apuesta) + 0,4 × ln(1 − apuesta). Cálculo propio.

Robert Merton llevó la idea a la bolsa: la palanca es la prima entre la volatilidad al cuadrado, dividido por tu aversión al riesgo.

En 1969, Merton, Nobel en 1997, calculó qué parte de su dinero debería llevar en bolsa alguien racional.

palanca = prima ÷ (aversión × volatilidad²)

Prima esperada 4 puntos, volatilidad 18 %, aversión 1: Kelly1,23 veces
Igual, con aversión 20,62 veces
Con la prima de 1928-2025, 8,4 puntos y un 19 %, aversión 12,2 veces

Con una prima futura prudente y una aversión normal, la respuesta es no llevar palanca, o muy poca. Solo con primas altísimas o muy poca aversión sale más de una vez.

Con la bolsa de EE. UU. desde 1928, la palanca que más hizo crecer fue de 1,5 a 1,75 veces. Con 2,25, la ruina.

Con la palanca reajustada cada año y pidiendo prestado al tipo de las letras del Tesoro, lo que más creció fue 1,75 veces: un 8,7 % al año sobre la inflación, frente al 6,8 % sin palanca. Pagando punto y medio más por el préstamo, el máximo bajó a 1,5 veces y un 7,7 %.

Con 2,25 veces, 1931 se lo llevaba todo. La palanca óptima de la historia estaba a muy poca distancia de la ruina, y eso con el siglo de EE. UU., de los mejores, y datos de cada año, más suaves que los de cada día.

Lo que creció al año la bolsa de EE. UU. con palanca, 1928-2025

Descontada la inflación, con la palanca reajustada cada año y el préstamo al tipo de las letras del Tesoro.

Damodaran, NYU Stern, «Historical Returns on Stocks, Bonds and Bills», 1928-2025, descontada la inflación de EE. UU. Cálculo propio con datos anuales: con datos de cada día, la ruina llega antes.

Pon tus supuestos y mira dónde está el máximo, y lo cerca que queda el precipicio.

La curva sube, llega a un máximo, la palanca de Kelly, y luego baja. En el doble de Kelly ya no ganas nada frente a no invertir; más allá, pierdes.

La línea de Merton tiene en cuenta cuánto te duelen los sustos. Con una aversión de 2, ya estás en la mitad de Kelly.

La palanca que más hace crecer

Crecimiento esperado por encima de lo que cuesta el préstamo, según la palanca. Una aversión de 1 es Kelly; de 2, la mitad.

Pruébalo. Baja la prima que esperas o sube la volatilidad, y mira cómo la palanca óptima se desploma.

Lo que crece al añoTu palanca (Merton)Kelly

Los que usan Kelly de verdad apuestan la mitad. Pierden poco crecimiento y se quitan la mitad de los sustos.

  1. La cuentaCon la mitad de la palanca de Kelly consigues tres cuartas partes de su crecimiento, con la mitad de la volatilidad.
  2. Porque no sabes la primaLa fórmula pide la prima que habrá, y nadie la sabe. Si la sobreestimas, te pasas; y pasarse es lo caro.
  3. Porque las colas existenLa fórmula supone una campana. Un día como el 19 de octubre de 1987, con mucha palanca, se lleva la cuenta entera.
  4. Porque eres humanoCon el doble de sustos, más gente vende en el peor momento. La palanca que aguantas es menor que la óptima.

Para un particular, la respuesta casi siempre es ninguna o poca: hasta 1,2 o 1,3 veces, barata y con plan.

  1. Ninguna, para casi todosCon una prima futura prudente y lo que cuesta un préstamo a un particular, el óptimo queda cerca de no usar palanca.
  2. Poca, si tienes margenSi eres joven, con ingresos estables y muchos años por delante, algo de palanca puede tener sentido, como defienden Ayres y Nalebuff. Lo viste en apalancamiento.
  3. BarataEl coste del préstamo es la prima que te queda. Por eso la siguiente lección importa: la forma más barata de pedir prestado.
  4. Con un planUna regla escrita para reducirla si la bolsa cae, antes de que el bróker lo haga por ti.

Comprueba lo que has aprendido.

Con una moneda que sale cara un 60 % de las veces y paga lo apostado, ¿qué pasa si apuestas el doble de lo que dice Kelly?

Según Merton, ¿qué pasa con tu palanca óptima si la volatilidad se duplica?

Lo que te llevas de esta etapa.

  • El desgaste crece con el cuadrado de la palanca: hay un máximo, y pasarse es peor que quedarse corto.
  • Kelly: la apuesta que más hace crecer; el doble de Kelly te arruina poco a poco.
  • Merton: palanca = prima ÷ (aversión × volatilidad²). Con supuestos prudentes, poca o ninguna.
  • En la historia de EE. UU., lo óptimo fue 1,5-1,75 veces, muy cerca de la ruina de 2,25.
  • La mitad de Kelly da tres cuartas partes del crecimiento con la mitad de los sustos.

La pregunta siguiente: si usas palanca, lo que te queda es la prima menos lo que pagas por el préstamo. ¿Cuál es la forma más barata de pedir prestado?